1. Définitions :
a. Définition géométrique :
Soient A et B deux points.
Ces deux points peuvent servir à définir plusieurs choses :
Une droite (AB), un segment [AB] et une longueur, celle du segment [AB].
Ces trois choses peuvent aussi définir un déplacement en ligne droite d'un point à un autre.
En effet, pour aller de A à B, on se déplace sur la droite (AB), de A vers B d'une longueur AB.
Pour expliquer à quelqu'un comment aller d'un point à un autre, Il faut connaître la
direction, le
sens de déplacement ainsi que la
distance.
On dit que les deux points A et B définissent
2 vecteurs :
Ces 2 vecteurs ont la même longueur : AB
Ces 2 vecteurs ont la même direction : (AB)
Mais ils n'ont pas le même sens (leur sens est contraire)
Remarque :
Il ne faut pas confondre la direction et le sens.
Par exemple, si deux personnes voyagent, la première de Paris à Marseille et l'autre de Marseille à Paris, alors ces 2 personnes ont la même direction, mais pas le même sens.
b. Repère orthonormal :
On dit qu'un repère du plan est orthonormal si :
Ø Les axes des abscisses et des ordonnées sont orthogonaux
Ø Les graduations des 2 axes sont égales et de longueur 1.
Le point de coordonnées (0 ; 0) est le centre du repère, on l'appelle en général O.
Le point de coordonnées (1 ; 0) s'appelle en général I.
Le point de coordonnées (0 ; 1) s'appelle en général J.
Dans ce cas on note le repère orthonormal : (O ; I ; J).
c. Coordonnées (ou composantes) d'un vecteur dans un repère orthonormal :
Dans le repère orhonormal suivant, on a placé les points A(-2 ; -1) et B(-4 ; +2).
Pour aller de A à B en se déplacant uniquement sur les axes, il faut faire -2 sur l'axe des abscisses et +3 sur l'axe des ordonnées.
Exemple :(Cliquer sur "Tracer" pour voir le résultat de l'exemple)
2. Différentes formules utiles pour les exercices :
a. formule des composantes d'un vecteur:
Exemple :
Soient A( +3 ; +1) B(-2 ; +4) et C(+3;-2), alors
b. formule du milieu de 2 points:
Soient A(XA ;YA) et B(XB ; YB) 2 points du plan et M(XM ; YM) le milieu de [AB]. On a
Ø XM = (XA + XB)/2
Ø YM = (YA + YB)/2
Exemple :
Soient A(+4 ; -1) et B(+3;+2), M(XM ; YM) est le milieu de [AB] alors
Ø XM = (+4 + 3)/2 = +7/2 = +3,5
Ø YM = (-1 + 2)/2 =+1/2 = +0,5
Donc M(+3,5 ; +0,5)
c. formule de la longueur (ou norme) d'un vecteur :
On a AB² = X² + Y² (C'est le théorème de pythagore appliqué au vecteur)
Pour connaître AB, il suffit de prendre la racine carrée à la calculatrice.
Exemple :
On reprend l'exemple du 2.a avec A( +3 ; +1) et B(-2 ; +4), alors
Donc AB² = (-5)² + 3² = 25 + 9 = 34
Donc AB = 5,83 à 0,01 près.
3. Relation de Chasles :
a. Propriété:
Soient A, B et C, 3 points.
Pour les vecteurs, ce qui est important, ce sont les points de départ et d'arrivée, ce qui se passe au milieu n'a pas d'importance.
Cela signifie que pour aller de A à C, il revient au même de se déplacer directement en ligne droite que de passer par le point intermédiaire B.
b. Conséquence (presque) évidente:
c. Le théorème des milieux dans un triangle:
Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [AC],