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Les médianes d'un triangle

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1. Définition :

Une médiane d'un triangle est une droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Il y a donc 3 médianes par triangle.

2. Exemple-Propriété :



ABC est un triangle quelconque.

I est le milieu de [BC].
J est le milieu de [AC].
K est le milieu de [BA].

On remarque que les trois médianes sont concourantes. C'est vrai pour n'importe quel triangle, on admet donc la propriété suivante :

Les médianes d'un triangle sont concourantes. Le point de concours, s'appelle centre de gravité du triangle.

Remarque 1 : Ce nom de centre de gravité n'est pas donné au hasard. Si on découpe un triangle ( par exemple en bois ) alors le centre de gravité est le point d'équilibre du triangle. Cela signifie que si on pose le triangle sur la pointe d'un clou sur le centre de gravité, le triangle sera en équilibre.
Remarque 2 : Les triangles AIB et AIC ont des bases de la même longueur. Les hauteurs de ces 2 triangles sont aussi égales, donc les surfaces de AIB et AIC sont égales. On en déduit la propriété suivante :

Une médiane coupe un triangle en deux parties qui ont la même aire.

3. Théorème des médianes (admis) :

Le théorème s'énonce de 2 manières :

Le centre de gravité se trouve aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet. ou Le centre de gravité se trouve aux 1/3 de chaque médiane en partant du milieu d'un côté.

Si on prend le triangle ABC, on a les égalités suivantes :
AG = 2/3 AI ou IG = 1/3 IA
BG = 2/3 BJ ou JG = 1/3 JB
CG = 2/3 CK ou KG = 1/3 KC

4. Exercice de construction :

Effectuer l'exercice suivant. Cliquer sur "Réponse" pour obtenir les étapes de la construction. (Cliquer une fois par étape)