Soit x un nombre. On appelle valeur absolue de x et on note |x|,
la distance de x à 0.
Une distance est toujours positive donc |x| > 0 sauf si x = 0, dans ce cas |0| = 0. exemple:
|4| = 4 car la distance de 4 à 0 est 4.
|-5| = 5 car la distance de -5 à 0 est 5. conséquence:
Si x > 0 alors |x| = x.
Si x < 0 alors |x| = - x. ( si x<0, alors -x >0)
Si x = 0 alors |x| = 0.
B. Propriété:
1. Soit x et y deux nombres, alors |x-y| est la distance entre x et y.
En effet:
Si x > y, alors x-y > 0 donc |x-y| = x-y qui est bien la distance entre x et y.
Si x < y, alors x-y < 0 donc |x-y| = -(x-y)= y-x qui est la distance entre x et y.
2. |x| = |y| signifie x = y ou x = -y.
3. |xy| = |x| |y|.
4. |x + y| |x| + |y|. ( Inégalité triangulaire)
C. Equation - Inéquation:
1. Exemple d'équation: |x - 3| = 6
On a 2 cas possibles : x - 3 > 0 ou x - 3 < 0,
donc |x - 3| = x - 3 ou |x - 3| = - (x-3).
Il faut donc résoudre : x - 3 = 6 ou -(x - 3) = 6,
donc x = 9 ou - x + 3 = 6,
donc les solutions sont x = 9 ou x = -3.
2. Exemple d'inéquation: |2x + 5| 6
On a 2 cas possibles : 2x+5 > 0 ou 2x+5 < 0,
donc |2x+5| = 2x+5 ou |2x+5| = - (2x+5).
Il faut vérifier dans chaque cas que 0 2x+5 ou 0 -(2x+5)
Il faut donc résoudre : 0 2x+5 6 ou 0 -(2x+5) 6,
donc -5/2 x 1/2 ou 0 - 2x - 5 6,
donc les solutions sont -5/2 x 1/2 ou -11/2 x -5/2.
On représente ces solutions par le dessin :
Ou par la réunion d'intervalles :
En effet, ici -5/2 appartient à chaque intervalle : c'est la borne fermée
de chaque intervalle, donc la réunion ne forme plus qu'un intervalle.
|x| + |y|. ( Inégalité triangulaire)
