1. Logarithme népérien

a. Définition :
La fonction inverse x |->1/x est définie et continue sur ]- ; 0 [ et sur ]0 ; + [. Elle admet donc des fonctions primitives sur chacun de ces 2 intervalles.
Sur ]0 ; + [, il y a une seule de ces primitives qui s'annule en 1.

b. Propriétés :

2. Théorème fondamental

a. La multiplication devient une addition :
Quels que soient les nombres réels strictements positifs a et b, on a :
démonstration:
Soit a > 0, on note f la fonction définie sur D= ]0 ; + [ par f(x) = ln(ax).
f est dérivable sur D et f'(x) = [ln(ax)] ' = a ln'(ax) = a.1/(ax) = 1/x.
Donc les fonctions f et ln ont la même dérivé sur D, il existe donc une constante k de IR, telle que :
Pour tout x de D, f(x) = ln(x) + k.
Si x = 1, on a f(1) = ln(1) + k = k (car ln(1) = 0).
De plus, pour tout x de D, on a f(x) = ln(ax), f(1) = ln(a).
Donc k = ln(a).
donc f(x) = ln(x) + ln(a).
Si x = b, on a ln(ab) = ln(a) + ln(b).
b. Conséquences:
Quels que soient les nombres réels strictements positifs a et b, on a :
démonstration:
ØOn pose c = a/b, on a : a = bc
donc ln(a) = ln(bc) = ln(b) + ln(c)
donc ln(c) = ln(a) - ln(b)
donc ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
Ø Pour a = 1, on a ln(1/b) = ln(1) - ln(b) = - ln(b)
Ø Trop facile ! Je vous laisse faire (par récurrence)

3. Etude de la fonction ln

a. Sens de variation :
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [.
ln'(x) = 1/x > 0 pour tout x appartenant à ]0 ; + [.
Donc ln est strictement croissante sur ]0 ; + [.
b. limites aux bornes :
La conséquence (C3) implique que l'on peut rendre ln aussi grand que l'on veut, il suffit de prendre a=2 et de choisir n de plus en plus grand.
La conséquence (C2) implique que l'on peut rendre ln aussi petit que l'on veut il suffit de faire grandir b et ln(1/b) va diminuer de plus en plus.
c. Nombre e :
Ln est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ]0 ; + [.
D'après le b, on en déduit que ln est une bijection de ]0 ; + [ sur ]- ; + [.
1 est dans l'intervalle image, donc il existe un nombre unique e tel que ln(e) = 1.
Ce nombre est environ égal à 2,718. (e est comme , ce n'est pas un nombre rationnel)
d. Représentation graphique :
Cherchons les équations des tangentes à la courbe aux points (1;0) et (e;1).
L'equation de la tangente est de la forme y - f(x0) = f'(x0)(x-x0).
Tangente au point (1;0):
Ici x0 = 1, f(x) = ln(x) et ln'(x) / 1/x donc ln'(1) = 1/1 = 1.
On a y - ln(1) = 1(x-1) donc l'équation de la tangente est y = x - 1.
Tangente au point (e;1):
Ici x0 = e, f(x) = ln(x) et ln'(x) = 1/x donc ln'(e) = 1/e.
On a y - ln(e) = 1/e(x-e)
donc y - 1 = x/e - 1 donc l'équation de la tangente est y = x/e.
Cliquez sur "Tracer" pour voir la courbe (en rouge) et les 2 tangentes en vert et rose.
(On peut cliquer sur le point A pour le faire bouger)
e. Approximation de ln au voisinage de 1 :
ln est dérivable sur ]0 ; + [,
en particulier pour x = 1, il existe une fonction E(x) telle que :
et telle que ln(1+x) = ln(1) + ln'(1)x + xE(x)
donc ln(1+x) = x + xE(x).
Donc, si x est voisin de 1, ln(1+x) est équivalent à x.
De plus par définition
On a donc
f. Deux limites importantes à connaître :

4. Dérivées-Primitives

a. Dérivée de ln(u) :
Soit u une fonction dérivable à valeur dans ]0 ; +[.
[ln(u)]' = u' / u (Par le théorème de la dérivée des fonctions composée, on a :
Exemple : Soit u la fonction définie sur ]+1/4 ; +[ par u(x) = 4x - 1.
u est strictement positive sur son domaine de définition,
la fonction f(x) = ln(4x - 1) est définie et dérivable sur ]+1/4 ; +[.
On a f '(x) = 4/(4x - 1).
b. Primitive de u' / u :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I à valeur dans ]0 ; +[.
Exemple : Soit u la fonction définie sur ]+5 ; +[ par u(x) = 1/(x - 5).
u est strictement positive sur son domaine de définition,
Une primitive de u sur ]+5 ; +[ est la fonction ln(x-5).