Courbes paramétrées de Lissajous


1. Définitions:

Une courbe paramétrée de Lissajous est donnée par:
x(t) = sin(at)
y(t) = sin(bt)
a et b sont des nombres réels différents (sinon la courbe est une droite d'équation y = x ).
On se limite au cas ou a et b sont entiers positifs.

    Remarque 1 :

x(t + 2pi)=sin(a(t + 2pi))=sin(at+2api)=sin(at)=x(t)
De même y(t+2pi) = y(t), donc, il suffit d'étudier cette courbe sur une période de 2pi.
Par exemple sur [-pi;+pi].

    Remarque 2 :

x(-t)=sint(-at)=sin(at)=x(t).
De même y(-t)=y(t), donc, il suffit d'étudier cette courbe sur [0;+pi].

    Remarque 3 :

Si a et b sont tous les deux pairs ou impairs, alors :
soit x(pi-t)= -x(t) et y(pi-t)= -y(t)
soit x(pi-t)=  x(t) et y(pi-t)=  y(t)

Démonstration du cas pair: Si a est pair alors, il existe un entier r tel que a = 2r.
x(pi/2-t) = sin(2r(pi-t)) = sin(2rpi-2rt) = - sin(2rt) = - x(t).
Même chose pour y(t).
    Remarque 4 :

Si a et b ne sont ni tous les deux pairs ou ni tous les deux pairs impairs, alors :
Soit x(pi-t)= -x(t) et y(pi-t)= y(t)
Soit x(pi-t)= x(t) et y(pi-t)= -y(t)
 C'est la même démonstration que précédemment.

Conclusion : On peut donc étudier cette courbe sur [0;pi/2],
la courbe étant soit symétrique par rapport à 0 sur [0;pi/2] et [pi/2,pi],
soit identique sur [0;pi/2] et [pi/2,pi].




2. Exercice:

a. Entrer les paramètres a et b. ( entiers, >0 )
b. Construire la courbe.
c. Pour la correction, Cliquer une fois sur le tableau pour le valider.
d. Cliquer sur "suite" , une fois par étape.

Remarque:
1/ Le tableau est seulement le début du tableau complet, il ne contient que les 2 premières valeurs qui annulent x' et y '.
2/ Si a = 1 ou b = 1, il y aura 2 fois la valeur pi/2 dans le tableau.
3/ Si par exemple , deux valeurs qui annulent x' sont plus petites que la première qui annule y', le tableau sera faux, car incomplet ! Par contre la courbe sera juste. ( par exemple a = 7 et b = 2)
4/ La première courbe en bleue est celle sur [0;pi/2], la jaune et la bleue forment la courbe complète.