a, b et c sont trois nombres réels et a est différent de 0.Résoudre sur un intervalle I de IR, l'équation différentielle (E) à coefficients constants, du 2° ordre, sans second membre :
(E) : ay''+by'+cy = 0
c'est trouver toutes les fonctions f qui sont deux fois dérivables sur I et telles que pour tout x dans I,
on ait:
af ''(x)+bf '(x)+cf(x)=0
On appelle équation caractéristique associée à (E), l'équation du 2°degré d'inconnue r :
ar²+br+c=0
B. Solutions:
Soit (E) : ay"+by'+cy=0 avec a différent de 0.
et (C) : ar²+br+c=0 . On note le discriminant de (C).
* Si = 0, (C) admet une racine double: -b/2a.
Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par:
f(x) = (Ax+B)exp(-bx/2a)
* Si > 0, (C) admet 2 racines réelles distinctes r1 et r2.
Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par:
f(x) = Aexp(r1x)+Bexp(r2x)
* Si < 0, (C) admet deux racines complexes conjuguées p+iq et p-iq.
Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par:
f(x) = exp(px)[Acos(qx)+Bsin(qx)]
Les nombres A et B sont deux constantes réelles que l'on pourra déterminer à partir des conditions initiales.
le discriminant de (C).