Inéquation

Inéquation

1. Règles de comparaison des relatifs :

a. Définition :
Soient a et b deux nombres relatifs.

On dit que a > b si (a - b) > 0.

Par exemple 7 > 5 car (7 - 5) = 2 > 0.
Par exemple -6 > -10 car (-6 - (-10)) = +4 > 0.

On dit que a < b si (a - b) < 0.

Par exemple 8 < 13 car (8 - 13) = - 5 < 0.
Par exemple -5 < -2 car (-5 - (-2)) = - 3 < 0.

b. Comparaison de 3 nombres relatifs :
Soient a, b et c 3 nombres relatifs.

Si a < b et b < c alors a < c.

Par exemple, 2 < 5 et 5 < 7 alors 2 < 7 .

Si a > b et b > c alors a > c.

par exemple, 10 > 2 et 2 > -3 donc 10 > -3.

2. Inéquation :

a. Cas normal :
Résoudre une inéquation, c'est comme résoudre une équation, c'est à dire trouver tous les nombres qui vérifient cette inéquation.
La différence est qu'il n'y a pas de signe = mais < , > ,

.
Pour résoudre une inéquation, les règles sont les mêmes que pour les équations, sauf pour un cas, que l'on verra après.
   Exemple 1 :
     4x - 2 < 6
     donc 4x < 6 + 2 en changeant -2 de côté qui devient +2.
     donc 4x < 8.
     donc x < 8 / 4 en changeant 4 de côté qui devient /4.
     donc x < 2.
Cela signifie que tous les nombres strictement plus petit que 2 conviennent. Par exemple 1 ; 1,5 ; 0 ; -6 ; -4,5 ; etc ...
   Exemple 2 :
     5x + 3

9
donc 5x

9 - 3 en changeant + 3 de côté qui devient -3.
donc 5x

6
donc x

6 / 5 en changeant 5 de côté qui devient / 5
Cela signifie que tous les nombres plus grands ou égals à 6 / 5 conviennent. Par exemple 6 / 5 ; 2 ; 1,5 ; 33 ; etc...

b. Cas ou le nombre qui multiplie x est négatif :

   Exemple 1: avec des nombres:
     5 < 7 mais 5 x (-2) > 7 x (-2)
     -4 > -6 mais -4 x (-3) < -6 x (-3)
On en déduit la propriété suivante :

Quand on multiplie ou on divise par un nombre négatif, cela change le sens de l'inégalité.

   Exemple 2:
     -5x +2 > 17
     -5x > 17 - 2 en changeant +2 de côté qui devient -2.
     -5x > 15
     x < 15 / (-5) le sens de l'inégalié change car on divise par -5.
     x < -3.

   Exemple 3:
     -6x - 3 > 24
     -6x > 24 + 3 en changeant -3 de côté qui devient +3.
     -6x > 27
     x < 27 / (-6) le sens de l'inégalié change car on divise par -6.
     x < -9 / 2. en simplifiant par 3.