1. Définition d'une application affine:
La définition des fonctions (ou applications) affines est un peu "brutale".
On dit que 2 grandeurs X et Y sont liées par une application affine, s'il existe 2 nombres a et b tels que :
a et b sont des nombres quelconques (par exemple 2 ; -3 ; 0 ; -4,2 ; 2/3 ; ...)
Remarque :
Pour connaître une application affine, il faut connaître les nombres a et b. Dans les exercices, soit on vous donnera ces nombres, soit on vous les fera calculer ( voir 4. calcul de a et b)
Le nombre a s'appelle le coefficient directeur
Le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine (on verra pourquoi plus tard)
2. Exemple : a = 2 et b = -1
Si a = 2 et b = -1, alors l'application affine est :
Pour calculer Y, il suffit de connaître X.
Par exemple si X = 5, alors Y = 2 x 5 - 1 = 10 - 1 = 9.
On dit alors que :
En règle générale :
le nombre qui joue le rôle de X s'appelle l'antécédent.
le nombre qui joue le rôle de Y s'appelle l'image.
Ø Si on veut calculer l'image de 3, cela signifie qu'il faut calculer Y, donc que X = 3,
donc Y = 2 x 3 - 1 = 6 - 1 = 5 et l'image de 3 est 5.
Ø Si on veut calculer l'antécédent de 13, cela signifie qu'il faut calculer X, donc que Y = 13,
donc 13 = 2 X - 1
donc 13 + 1 = 2 X
donc 14 = 2 X
donc X = 7 et l'antécédent de 13 est 7.
3. Exercice
4. Calculer a et b :
Pour calculer le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b, il faut connaître 2 couples antécédent-image.
Exemple
Soit Y = aX + b une application affine telle que :
Ø L'image de 1 est -1
Ø L'image de 3 est 5.
On a :
-1 = a x 1 + b (Equation 1)
5 = a x 3 + b (Equation 2)
C'est un système d'équation dans lequel il faut trouver a et b.
On calcule (Equation 1)-(Equation 2) pour éliminer b.
Ce qui donne -6 = -2a donc a = (-6)/(-2) = 3
On reporte dans (Equation 1) et on a : -1 = 3 x 1 + b donc b = -1 - 3 = -4
finalement :
5. Représentation graphique :
Il s'agit de faire un graphique à partir d'une application affine.
Ce graphique est une droite pour n'importe quelle application affine.Il suffit donc de placer 2 points et de relier.
On va se servir de l'application affine du 4, c'est à dire Y = 3X - 4.
Pour trouver 2 points, on va chercher les images des points d'abscisses 0 et 1.(On pourrait chercher les images d'autres points mais ce sont les plus faciles)
Ø Si X = 0, alors Y = 3x0 - 4 = -4.
Ø Si X = 1, alors Y = 3x1 - 4 = -1.
Donc les points (0;-4) et (1;-1) appartiennent à la droite. (Cliquez sur "trace" pour voir la droite)
Remarque :
Ø b s'appelle ordonnée à l'origine car il correspond à l'ordonnée du point d'abscisse 0.(en vert)
Ø a s'appelle coefficient directeur car il correspond au déplacement vers le haut ou le bas quand on se déplace d'un cran vers la droite en étant sur la courbe.
Par exemple si on se place au point (2;2) et qu'on se déplace d'un cran vers la droite, on monte de 3 crans.
Ø Plus a est grand, plus on monte et plus a est négatif, plus on descent.
Ø Si a = 0, alors la droite est horizontale.
Essayez avec d'autre nombres (uniquement des entiers relatifs) dans les cases "coefficient directeur" et "ordonnée à l'origine" et cliquez sur "trace" pour voir le résultat.